|
Rond 2000 voor Christus het werd opgemerkt dat in een driehoek met zijden van 3, 4 en 5 lengte-eenheden, een van de hoeken 90 ° is (deze observatie maakte het gemakkelijk om een rechte hoek te bouwen voor praktische doeleinden). Is het u toen opgevallen dat de verhouding 52 = 32 + 42? Hierover hebben we geen informatie. Enkele eeuwen later werd een algemene regel ontdekt: in elke driehoek ABC met een rechte hoek op de top A en zijden b = AC en c = AB, waartussen deze hoek is ingesloten, en de andere zijde a = BC, is de relatie a2 = b2 + c2 waar. Men kan zeggen dat wetenschap begint wanneer de massa van individuele waarnemingen wordt verklaard door één algemene wet; daarom kan de ontdekking van de ‘stelling van Pythagoras’ worden beschouwd als een van de eerste bekende voorbeelden van een werkelijk wetenschappelijke prestatie. Maar nog belangrijker voor de wetenschap in het algemeen en voor de wiskunde in het bijzonder is het feit dat er naast de formulering van de algemene wet ook pogingen zijn om het te bewijzen, d.w.z. laten zien dat het noodzakelijkerwijs volgt uit andere geometrische eigenschappen. Een van de oosterse “bewijzen” valt vooral op door zijn eenvoud: vier driehoeken gelijk aan deze zijn ingeschreven in het BCDE-vierkant zoals weergegeven in de tekening. De oppervlakte van vierkant a2 is verdeeld in vier gelijke driehoeken met een totale oppervlakte van 2bc en een vierkant AFGH met oppervlakte (b – c) 2. Dus a2 = (b – c) 2 + 2bc = (b2 + c2 – 2bc) + 2bc = b2 + c2. Het is leerzaam om nog een stap te zetten en preciezer te weten te komen welke “eerdere” eigenschappen verondersteld worden bekend te zijn. Het meest voor de hand liggende feit is dat, omdat de driehoeken BAC en BEF precies, zonder openingen en overlappingen, langs de zijden BA en BF ‘passen’, dit betekent dat de twee hoeken bij hoekpunten B en C in driehoek ABC samen een hoek van 90 ° vormen en daarom is de som van alle drie de hoeken 90 ° + 90 ° = 180 °. Het bovenstaande ‘bewijs’ gebruikt ook de formule (bc / 2) voor de oppervlakte van een driehoek ABC met een hoek van 90 ° op de top A. In feite werden andere aannames gebruikt, maar wat er is gezegd is voldoende zodat we duidelijk het essentiële mechanisme van wiskundig bewijs kunnen zien – deductief redenering die het mogelijk maakt om puur logische argumenten te gebruiken (op basis van goed voorbereid materiaal, in ons voorbeeld de verdeling van een vierkant), uit de bekende resultaten volgen nieuwe eigenschappen in de regel niet direct uit de beschikbare gegevens.
|
| https://breinbrekers.be/ |
Veelgestelde vragen
Wat is de stelling van Pythagoras?▼
De stelling van Pythagoras stelt dat in een rechthoekige driehoek de som van de kwadraten van de twee korte zijden gelijk is aan het kwadraat van de lange zijde (a² = b² + c²). Dit werd al rond 2000 voor Christus ontdekt.
Hoe werd de driehoek met zijden 3, 4 en 5 gebruikt?▼
Deze driehoek werd gebruikt om praktisch rechte hoeken te construeren, omdat men opmerkte dat één hoek altijd 90° bedraagt. Dit was een belangrijke ontdekking voor bouwkunde en praktische toepassingen.
Wat is het verschil tussen observatie en wetenschap?▼
Wetenschap begint wanneer individuele waarnemingen worden verklaard door één algemene wet. De ontdekking van de stelling van Pythagoras was één van de eerste voorbeelden van werkelijk wetenschappelijke prestatie.
Wat is deductief redeneren in de wiskunde?▼
Deductief redeneren is het proces waarbij nieuwe eigenschappen logisch worden afgeleid uit bekende resultaten en stellingen. Dit vormt de basis van wiskundig bewijs en maakt het mogelijk om nieuwe inzichten zuiver logisch af te leiden.
Wat was het oosterse bewijs van de stelling van Pythagoras?▼
Dit bewijs gebruikte vier identieke driehoeken ingeschreven in een vierkant om aan te tonen dat a² = b² + c². Het voorbeeld toont hoe oppervlakteberekeningen logisch kunnen aantonen dat de stelling waar is.
